微分方程模型-传染病模型

建模忠哥 • 2023-12-03 • 数学建模 • 2209 阅读

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型. 建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了. 我们在 1 . 5 节建立的人口指数增长模型和阻滞增长模型，大致就是这个过程. 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为 m 的物体自高 h 处自由下落，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为 k，求下落速度随时间的变化规律. ”又如“容器内有盐水 100 l，内含盐 10 kg，今以 3 l/min 的速度从一管放进净水，以2 l/min 的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律. ”本章讨论的动态模型与这些问题的主要区别是，所谓微分方程应用题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的. 而本章的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件. 作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的. 求解结果还要用来解释实际现象并接受检验.

随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制. 但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来. 20 世纪 80 年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延；2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害. 长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型［11，28，39］. 模型 1 在这个最简单的模型中，设时刻 t 的病人人数 x（t）是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数 λ , 考察 t 到 t + Δt 病人人数的增加，就有 x（t + Δt）— x（t）= λx（t）Δt 再设 t = 0 时有 x0 个病人，即得微分方程 dt(dx) = λx ， x（0）= x0 （1）方程（1）的解为 x（t）= x0 eλt （2）结果表明，随着 t 的增加，病人人数 x（t）无限增长，这显然是不符合实际的. 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人. 模型 2（SI 模型）假设条件为 1. 在疾病传播期内所考察地区的总人数 N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移. 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第 1 个字母，称之为 SI 模型），以下简称健康者和病人. 时刻 t 这两类人在总人数中所占的比例分别记作 s（t）和 i（t）. 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 λ , λ 称为日接触率. 当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人. 根据假设，每个病人每天可使 λs（t）个健康者变为病人，因为病人数为 Ni（t），所以每天共有 λNs（t）i（t）个健康者被感染，于是 λNsi 就是病人数 Ni 的增加率，即有

这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻. tm 与 λ 成反比，因为日接触率 λ 表示该地区的卫生水平，λ 越小卫生水平越高. 所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来. 第二，当 t% 心时 i%1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况. 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者.

为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.

模型 3（SIS 模型）有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称 SIS 模型.

SIS 模型的假设条件 1，2 与 SI 模型相同，增加的条件为

3. 每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ , 称为日治愈率. 病人治愈后成为仍可被感染的健康者. 显然 1/μ 是这种传染病的平均传染期.

不难看出，考虑到假设 3，SI 模型的（3）式应修正为

很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统. 这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程.

模型假设

1. 总人数 N 不变. 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称 SIR 模型. 三类人在总人数 N 中占的比例分别记作 s（t），i（t）和 r（t）.

2. 病人的日接触率为 λ , 日治愈率为 μ（与 SI 模型相同），传染期接触数为 σ = λ/μ.

模型构成

由假设 1 显然有s（t）+ i（t）+ r（t）= 1

根据条件 2 方程（8）仍成立. 对于病愈免疫的移出者而言应有

N dt(dr) = μNi （13）

再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是 s0（s0 > 0）和 i0（i0 > 0）（不妨设移出者的初始值 r0 = 0），则由（8），（12），（13）式，SIR 模型的方程可以写作

（14）

dt(ds) = 一 λsi ， s（0）= s0

{ dt(di) = λsi 一 μi ， i（0）= i0

方程（14）无法求出 s（t）和 i（t）的解析解，我们先作数值计算.

数值计算在方程（14）中设 λ = 1，μ = 0. 3，i（0 ）= 0. 02，s（0 ）= 0 . 98，用 MATLAB 软件编程：

function y = ill（t，x）
A = 1；B = 0 . 3；
y =［A *x（1）*x（2）- B*x（1），- A *x（1）*x（2）］,；

ts = 0：50；
x0 =［0 . 02，0 . 98］；
［t，x］= ode45（ ,ill ,，ts，x0）；［t，x］
plot（t，x（：，1），t，x（：，2）），grid，pAuse
plot（x（：，2），x（：，1）），grid，

输出的简明计算结果列入表 1，i（t），s（t）的图形见图 7，图 8 是 i ~ s 的图形，称为相轨线，初值 i（0）= 0. 02，s（0）= 0 . 98 相当于图 8 中的 P0 点，随着 t 的增加，（s，i）沿轨线自右向左运动. 由表 1、图 7、图 8 可以看出，i（t）由初值增长至约 t = 7 时达到最大值，然后减少，t % 心，i %0；s（t）则单调减少，t % 心，s % 0. 0398.