数学建模十大经典常用算法

建模忠哥 • 2023-12-02 • 数学建模 • 3279 阅读
对于参加建模竞赛的学生而言，总会遇到一些抽象而晦涩的难题，解决这些问题，需要一些特定的算法，对于这些算法，我们可以简单研究，了解算法中最精髓的几个概念以及算法模型的抽象方法。应该把时间放在如何从实际待求解的问题中抽象出适合算法求解的模型上，下面列举了十大算法，在数学建模竞赛中有着广泛而重要的应用。

01 线性回归用于预测一个连续的输出变量

线性回归是一种基本的统计学方法，用于建立一个自变量(或多个自变量)和一个因变量之间的线性关系模型，以预测一个连续的输出变量。这个模型的形式可以表示为：
其中，y 是因变量(也称为响应变量) ，x1，x2，...， xp 是自变量(也称为特征变量) ，B0， B1， B2， ...，Bp 是线性回归模型的系数，最后面那个 是误差项.
线性回归的目标是找到最优的系数 B0,B1,... Bp，使得模型预测的值与真实值之间的误差最小。这个误差通常用残差平方和来表示:
其中，yi 是真实的因变量值， 后者是通过线性回归模型预测的因变量值，线性回归模型的最小二乘估计法就是要找到一组系数，使得残差平方和最小。线性回归可以通过多种方法来求解，其中最常用的方法是最小二乘法。最小二乘法就是要找到一组系数，使得残差平方和最小。最小二乘法可以通过矩阵运算来实现，具体地，系数的解可以表示为:
其中，X 是自变量的矩阵，包括一个截距项和所有自变量的值，y 是因变量的向量线性回归在实际中的应用非常广泛。比如在金融、医学、工程、社会科学等领域中，都可以使用线性回归来预测和分析数据。

02 逻辑回归用于预测一个离散的输出变量，比如二元分类问题。

逻辑回归是一种常见的分类算法，用于将一个或多个自变量与一个二元或多元离散的因变量之间的关系建模，它的名字“逻"来源于它的道型本质上是一个逻辑函数，用干将输入值转换为一个概率值。逻辑回归涌常用于二元分类问题，但也可以扩展到多元分类问题。逻辑回归模型的基本形式如下:
其中，p (y=1x) 是给定自变量X 下因变量y 取值为 1的概率，exp () 是指数函数，b0，b1，b2,...， bp 是模型的系数。逻辑回归的目标是找到最优的系数 b0，b1，b2，..，，以最大化似然数，从而使模型预测的结果尽可能地接近真实值。通常，我们会便用极大似然估计法来估计模型的系数。在训练过程中，逻辑回归模型使用一个称为逻辑损失函数的代价函数来衡量预测结果与真实值之间的误差。逻辑损失函数如下:
其中，m 是样本数量，yi 是真实的分类标签(0 或1)，p (xi) 是模型预测的分类概率。逻辑回归可以使用梯度下降法或牛顿法等优化算法来最小化逻辑损失函数，从而得到最优的模型参数。最后，模型将自变量输入到逻辑函数中，得到分类概率，并使用闻值将概率转化为分类标签，通常取闻值为 0.5。逻辑回归在实际中的应用非常广泛，比如在金融、医学、社会科学等领域中，都可以使用逻辑回归来预测和分析数据。

03 决策树用于分类和回归问题，通过构建一个树状结构来做出决策

决策树是一种常见的机器学习算法，用于解决分类和回归问题。它的基本思想是将数据集分成多个子集，每个子集对应一个决策树节点.最终形成一棵树形结构。决策树的每人节点表示一个特征，分支表示特征的取值，叶子节点表示分类或回归的结果。决策树的构建过程一般分为两人阶段:树的生成和剪枝。树的生成过程是从根节点开始，依次选择最优的特征进行划分，直到所有叶子节点都属于同一类别或满足某个停止条件。最常用的特征选择方法是信息增益或信息增益比。信息增益是指在划分前后，数据集中不确定性减少的程度，信息增益越大，意味着特征对于分类的影响越大。剪枝过程是为了避免过拟合，剪枝的目的是去除一些决策树节点，从而使决策树更加简单、泛化能力更强。剪枝方法通常包括预剪枝和后剪枝。预剪枝是在树的生成过程中，当某个节点无法继续划分时，停止上划分。后剪枝是在树的生成过程结束后，对生成的树进行剪枝。剪枝的具体方法包括交叉验证剪枝和错误率降低剪枝等。决策树在分类和回归问题中都有广泛的应用，它的优点包括易于理解和解释，处理缺失数据、对县常值不敏感、适用干多分举和回归问题等。但是决策树也有一些缺点，如容易过拟合、对输入数据的细微变化敏感等。

04 支持向量机用于分类和回归问题，通过找到一个最优的分离超平面来进行分类

支持向量机 (Support Vector Machine，简称 SVM)是一种常用的监督学习算法，常用于分类和回归问题。SVM 基于将数据映射到高维空间，并在该空间中寻找最大间隔超平面来进行分类或回归。SVM 的目标是找到一个最大间隔超平面，它将不同类别的数据分开，使得同一类别的数据点尽可能地靠近这个超平面。具体来说，对于分类问题，SVM 将数据映射到高维空间，并找到一个超平面，它能够将两类数据分开，并且距离两类数据点最近的点到该超平面的距离最大。在实现 SVM 时，需要选择一个核函数来对数据进行映射，常用的核函数有线性核、多项式核和径向基函数(Radial Basis Function,简称 RBF) 核等。

05 聚类用于将数据集中的数据分为不同的组

聚类是一种无监督学习算法，用于将数据集中的对象分成几个相似的组或类别，聚类算法的目标是找到一些相似的数据点，并将它们分成不同的类别或簇，使得同一类别的数据点尽可能地相似，而不同类别的数据点尽可能地不同。常见的聚类算法包括 K-Means 算法、层次聚类算法和 DBSCAN 算等。其中，K-Means 算法是最常见的聚类算法之一，它将数据点分为 K 个，并将每个数据点分配到最近的簇中，

06 神经网络用于分类和回归问题，通过构建一个多层的神经网络来进行计算

神经网络是一种模仿人类大脑神经网络结构和工作方式的算法模型。它由许多简单的单元或神经元组成，每个神经元接收来自其它神经元的输入，并将这些输入组合成一个输出。神经网络通常由多个层组成，包括输入层、隐藏层和输出层，每层由若工人神经元组成。神经网络可以用于分类、回归和聚类等任务，其中最常见的是分类任务。神经网络分类器的训练通常采用反向传播算法，它通过计算误差梯度来更新神经网络权重，以使神经网络的输出尽可能接近真实标签。

07 遗传算法用于寻找优化问题的最优解。遗传算法是一种模自然选择和遗传机制的优化算法

主要用于求解最优化问题。它模拟了生物进化过程中的遗传、交又和变异过程，通过不断地进化优秀的个体，逐渐搜索到全局最优解。遗传算法的基本流程如下:
1.初始化种群: 随机生成一组个体作为种群2.评价适应度: 对每个个体进行适应度评价，通常使用目标函数计算个体的适应度3.选择操作: 根据每个个体的适应度，选择一部分个体作为父代，用于产生下一代。4.交叉操作: 对父代个体进行交叉操作，产生新的个体。

5.变异操作:对新的个体进行变异操作，产生更多的多样性

6.评价新个体:对新的个体进行适应度评价。

7.判断终止条件:如果满足终止条件，则输出最优解;否则返回第3步

08 粒子群算法用于寻找优化问题的最优解

粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟群体中粒子的移动和群体的信息交流来实现优化目标的搜索。每个粒子在搜索空间中移动，并记录自己的最优位置和群体的最优位置，通过不断地调整自己的位置和速度，逐渐按近最优解。粒子群算法的基本流程如下：

  1. 初始化粒子群: 随机生成一组粒子的位置和速度
  2. 计算适应度值: 对每个粒子进行适应度计算，通常使用目标函数计算粒子的适应度
  3. 更新人体最优值:将每个粒子的当前位置作为个体最优位置，如果该位置优于个体历史最优位置，则更新个体历史最优位置
  4. 更新群体最优值: 将所有粒子的个体最优位置作为群体最优位置。
  5. 更新速度和位置:根据粒子当前位置、速度和群体最优位置，计算新的速度和位置
  6. 判断终止条件: 如果满足终止条件，则输出最优解;否则返回第2步。

09 蚁群算法用于解决组合优化问题

蚁群算法 是一种模拟妈蚁在寻找食物时的行为和信息交流的启发式优化算法。该算法通过模拟妈蚁的觅食行为，以信息素作为引导信息，通过博寻路径上信息素的累积来实现最优路径的搜索。蚁群算法的基本流程如下:

  1. 初始化信息素:对每条路径初始化一定量的信息素
  2. 初始化蚂蚁位置: 随机分配蚂蚁的起点
  3. 选择下一步位置:根据当前位置和信息素分布选择下一步的位置
  4. 更新信息素:根据蚂蚁经过的路径更新信息素。
  5. 判断终止条件: 如果满足终止条件，则输出最优解;否则返回第3步

10 模拟退火算法用于在一个大的搜索空间中找到一个最优解

模拟退火算法(Simulation Annealing，SA) 是一种基于概率的全局优化算法，其灵感来源于固体材料在退火过程中的微观状态变化过程。该算法通过一定的概率接受一个劣解以避免陷入局部最优解，并在迭代过程中逐渐降低概率，最终达到全局最优解的目的。模拟退火算法的基本流程如下:

  1. 初始化温度T、初始解x、终止温度Tmin和降温速率a.
  2. 选代直至温度降至Tmin: 在当前解x的邻域中随机生成一人新解y.
  3. 判断接受概率:计算当前解x和新解y的养值AE，如果AE0，则接受新解y否则以一定概率接受新解y，概率为e(-AET)。
  4. 降温: 通过降温速率a逐渐降低温度T
  5. 返回第2步。

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作者：建模忠哥
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